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Die Bombe im Fluggepäck
Ein junger Mann will nach Übersee und muss daher -
zum ersten Mal in seinem Leben - eine Flugreise antreten. Aus diesem Grund
ruft er vorsichtshalber bei seiner Versicherung an, um sich nach dem
Risiko der Flugreise zu erkundigen. Insbesondere beunruhigt ihn, dass eine
Bombe an Bord sein könnte. Die Versicherung sagt ihm, dass das sehr
unwahrscheinlich ist, aber die genannte Wahrscheinlichkeit - sagen wir, es
sei 1 : 10.000 - erscheint ihm immer noch zu hoch. Zur Sicherheit fragt er
auch, wie groß die Wahrscheinlichkeiten dafür ist, dass sich gleich zwei
Bomben im selben Flugzeug befinden. Diese Zahl ist nun einfach das Quadrat
der vorher genannten Wahrscheinlichkeit, also in diesem Beispiel eins zu
100.000.000. Damit scheint der junge Mann zufrieden zu sein
Einige Wochen später liest der
Versicherungsangestellte in der Zeitung, dass man bei einer Gepäckkontrolle
am Flughafen im Koffer eines Passagiers eine Bombe gefunden habe. Und
weiter: dieser Passagier habe vor dem Untersuchungsrichter beteuert, seine
Bombe lediglich zur Verminderung des Risikos mitgeführt zu haben. (Diese Geschichte stammt aus Eigen/Winkler: Das
Spiel - Naturgesetze steuern den Zufall, S. 49 und kursiert unter den
verschiedensten Varianten als Anekdote, als Witz oder als modernes Märchen.)
Die meisten Menschen sind geneigt, diesen fiktiven jungen Mann für ein
wenig dümmlich zu halten. Tatsächlich gibt es aber eine Menge
Untersuchungen, die zeigen, dass Menschen in realen Situationen dazu
neigen, genau demselben Gedankenfehler zu unterliegen. Auch bei unabhängigen
Ereignissen haben wir subjektiv das Gefühl, dass etwas, was ungewöhnlich
oft passiert ist, in der Zukunft erst einmal seltener auftreten muss,
damit der korrekte Mittelwert wieder hergestellt wird.
Diese Sichtweise ist so verbreitet, dass sie sogar
einen eigenen Namen hat: Man nennt es die Gambler's Fallacy. Der
Name kommt daher, dass man dieses Verhalten bei Spielern (gamblers)
im Casino oft beobachten kann. Wenn am Roulettetisch zehnmal
hintereinander rot gekommen ist, dann kann man sehen, wie sich die Einsätze
auf schwarz zu türmen beginnen. Dabei sagt die
Wahrscheinlichkeitstheorie, dass die einzelnen Rouletteergebnisse
vollkommen unabhängig voneinander sind und es dem Rouletterad egal ist,
ob in der Vergangenheit häufiger rot oder schwarz gefallen ist. Infolge
dessen bleibt die Wahrscheinlichkeit für rot oder schwarz bei den
weiteren Würfen weiterhin bei 50%.
Selbsttest: Sind Sie ein guter Spieler?
Dies alles wissend sehen wir uns die nächste
Geschichte an (sie steht zum Beispiel in Nicholas
Taleb: Der schwarze
Schwan). Wir
spielen ein kleines Spiel, bei dem ich eine Münze werfe. Sie suchen sich
aus, ob Sie 100 € auf Kopf oder Zahl setzen. Wenn Sie richtig
vorhergesagt haben, dann erhalten Sie den doppelten Einsatz zurück; wenn
nicht, dann geht der Einsatz an mich. Vor Ihren Augen habe ich schon ein
lange Reihe Probewürfe absolviert, bei denen aber noch kein Geld gesetzt
wurde. Ich habe schon 99 mal geworfen und - wie der Zufall so will -
zeigte die Münze 99 mal Kopf. Beim 100. Mal sind sie nun an der Reihe zu
setzen. Was tun Sie?
- Ich
setze auf Zahl, weil es extrem unwahrscheinlich ist, dass nochmal Kopf
kommt.
- Es
ist egal was ich tue, weil die Ereignisse bekanntlich unabhängig
voneinander sind und daher die Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl
nach wie vor gleich groß ist.
- Irgendwie
klingen die beiden Antworten von eben falsch, deshalb nehme ich
Kopf.
Bitte beantworten Sie die Frage jetzt kurz selbst,
bevor Sie weiterlesen.
Die häufigste Antwort auf diese Frage ist die Nummer
zwei, besonders wenn die Frage direkt im Anschluss an die vorangegangene
Geschichte gestellt wird. Interessanterweise ist diese Antwort aber ein
typisches Beispiel für eine Antwort aus dem Elfenbeinturm, die weder eine
praktische Relevanz hat noch von denkenden Menschen in realen Situation
wirklich eingesetzt würde.
Stellen Sie sich einmal vor, wir säßen uns wirklich
einander gegenüber und ich würde mehrfach hintereinander eine Münze
werfen. Das erste Mal kommt Kopf; das zweite Mal kommt auch Kopf; das
dritte Mal kommt ebenfalls Kopf; so geht das weiter, Runde um Runde. Könnte
es sein, dass sie beginnen misstrauisch zu werden? Wenn nur zehnmal
hintereinander Kopf kommt, dann ist das ein Fall, der mit einer
Wahrscheinlichkeit von etwa eins zu 1000 auftreten sollte. Wenn tatsächlich
99 mal hintereinander Kopf kommt, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür
so gering, dass wir die verwendeten Zahlen überhaupt nicht mehr kennen würden:
die Wahrscheinlichkeit hierfür beträgt etwa eins zu 0,6 Sextillionen. In
einer Vorlesung kann ich Ihnen noch weismachen, dass Sie so etwas
"mit positiver Wahrscheinlichkeit" erleben, aber für Ihr
praktisches Leben wissen Sie, dass das nie eintreten wird, wenn es mit
rechten Dingen zugeht.
Jeder vernünftige Mensch folgert daher, dass es
wohl nicht mit rechten Dingen zugegangen sein kann. Es ist viel
sinnvoller, die Hypothese der "fairen" Münze aufzugeben als an
ein derartig unwahrscheinliches Ereignis zu glauben. Folglich würde Sie
schon nach nur zehn Würfen die Münze aus der Hand nehmen und einmal
nachsehen, was damit nicht stimmt. Und selbstverständlich würde mit
dieser Münze irgendetwas nicht stimmen. Sie können Gift darauf nehmen,
dass diese Münze ganz einfach zwei Kopf-Seiten hat. So einfach ist das.
Das hier angewandte Schlussverfahren heißt in der
Wissenschaftstheorie übrigens Abduktion und steht ein wenig im
Schatten ihrer beiden bekannteren Schwestern Induktion und Deduktion.
Abduktion ist das, was Sherlock Holmes einsetzt: Er beobachtet ein auffälliges
und scheinbar unwahrscheinliches Ereignis. Sodann fragt er nach einer
Konstellation, bei der dieses Ereignis keineswegs unwahrscheinlich wäre,
sondern auf der Hand liegen würde. Genau so gehen auch Menschen mit
gesundem Menschenverstand vor und finden dadurch in der Regel die
eigentliche Lösung. Wenn Sie also oben Antwort 3 genommen haben, dann
haben Sie nicht nur gesunden Menschverstand bewiesen, sondern auch die
richtige Wahl getroffen. Sherlock
Holmes hätte es so gemacht (aber ein Logiker hätte Sie davor
gewarnt).
Sherlock Holmes schmuggelt eine Bombe an Bord
Und jetzt denken Sie bitte noch einmal über die
erste Geschichte nach. Was genau bedeutet es für die Wahrscheinlichkeit
einer Bombe an Bord eines Flugzeugs, wenn Sie selbst eine Bombe im Handgepäck
hineingeschmuggelt haben, weil Sie an die Gambler's Fallacy glauben und
mit ihrer eigenen Bombe die Wahrscheinlichkeit für eine zweite verringern
wollten?
Die Antwort aus dem Elfenbeinturm lautet, die beiden
Ereignisse seien komplett unabhängig voneinander und damit hätte sich
die Wahrscheinlichkeit für die zweite Bombe überhaupt nicht verändert.
Wenn Sie sich in diesem Augenblick nicht mit abstrakten Gedankenspielen
beschäftigen würden, sondern tatsächlich eine Bombe ins Flugzeug
geschmuggelt hätten, dann würde ihnen ihr gesunder Menschenverstand aber
eine ganz andere Lösung nahelegen: Offenbar ist es wesentlich einfacher,
Bomben in das Flugzeug zu schmuggeln, als sie erst gedacht haben. Wenn es
Ihnen so leicht gelingt, dann kann es einem Terroristen selbstverständlich
ebenso leicht gelingen. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für eine zweite
Bombe weder eins zu 100.000.000 noch eins zu 10.000, sondern bedeutend höher.
Das ganze gilt übrigens auch andersherum. Wenn es
Ihnen nicht gelungen sein sollte, die Bombe an Bord zu schmuggeln, weil
Sie bei der Kontrolle erwischt wurden, dann hat das ebenfalls einen ganz
erheblichen Einfluss auf eine zweite Bombe an Bord. Die Wahrscheinlichkeit
dafür wird in diesem Fall wesentlich geringer sein als sonst: Entweder
fliegt nach dieser Aktion das Flugzeug gar nicht ab (dann geht die Wahrscheinigkeit auf null) oder aber das Flugzeug wird vor dem Start
besonders gründlich durchsucht, was ebenfalls dazu führen würde, dass
die Wahrscheinlichkeit für eine Bombe bedeutend niedriger liegt als im
Normalfall.
Spieltheorie und Wahrscheinlichkeiten
Was sie hier gesehen haben ist, dass das Konzept der
Wahrscheinlichkeit für viele reale Situationen nicht oder zumindest ganz
anders anwendbar ist als der Mathestunde. Das liegt daran, dass wir bei
Wahrscheinlichkeiten unterstellen, dass sie sich durch unser eigenes
Verhalten nicht verändern. Wir sehen hier aber, dass das sehr oft nicht
gilt, wenn Menschen beteiligt sind. In dem Flugzeugbeispiel verändern wir
durch unser eigenes Verhalten die Wahrscheinlichkeit für eine Bombe an
Bord ganz gewaltig, und zwar deshalb, weil diese Wahrscheinlichkeit vom
Verhalten anderer Menschen abhängt, und diese wiederum auf unser eigenes
Verhalten reagieren. Damit ist aber die Grundannahme nicht mehr gegeben,
nach der die Wahrscheinlichkeiten konstant bleiben. Und weil das so ist,
wurde die Spieltheorie erfunden.
In der Spieltheorie wird klar, dass das Vorhandensein
einer Bombe nicht einfach ein Zufallsereignis ist, ähnlich einem
Rouletterad, sondern dass die Bombe sowohl von Menschen hereingeschmuggelt
wird als auch von Menschen gesucht wird, die genau das verhindern wollen.
Es ist also unsinnig, von konstanten, "gegebenen"
Wahrscheinlichkeiten auszugehen. Vielmehr ist es so, dass wenn die
Sicherheitskontrolleure sehr gründlich arbeiten, der Terrorist bemerkt,
dass er seine Bombe nicht daran vorbeischmuggeln kann und sich infolge
dessen anders verhält. Zwar können auch hier Wahrscheinlichkeiten
auftreten, aber oft sind diese von Menschen gewählt worden und verhalten
sich somit ganz anders als ein Rouletterad. Wenn man das nicht berücksichtigt,
dann wird es teuer.
Wenn Sie jetzt wissen wollen, wie man das
berücksichtigt - tja, dann lesen Sie eines dieser Bücher:
Das
Spiel zeigt Ihnen, dass die Spieltheorie auch in den
Naturwissenschaften am Werke ist und sogar Hinweise gibt, wie das Leben
entstanden ist.
Coopetition
zeigt Ihnen, wie Sie die Spieltheorie im Geschäftsleben anwenden.
Und wenn Sie ein wenig tiefer einsteigen wollen, dann brauchen Sie
mein Spieltheorie-Buch.
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