Version vom 03.09.2006 (redaktionelle Änderungen vom 6.4.2016)
Erstversion vom 07.07.2006

Spieltheorie und Fußball

Das war das Ende der deutschen Nationalmannschaft im Halbfinale zur WM 2006: In der 118. Minute bringen die Italiener plötzlich völlig unerwartet den Ball ins Tor. Nur zwei Minuten später gelingt es ihnen gleich ein zweites Mal, und sie siegen mit 2:0. Wieso gelingt Ihnen in zwei Minuten auf einmal das, was Sie in den 118 Minuten zuvor nicht geschafft haben?

Die naheliegende Antwort scheint zu sein, dass sie mit dem ersten Treffer die Deutschen so verunsichert haben, dass diese von da ab eben unaufmerksam waren. Aber das ist mit ziemlicher Sicherheit nicht der Grund, zumindest nicht der hauptsächliche. Sondern der Grund ist, dass die Deutschen gar nicht mehr versucht haben, den zweiten Ball abzuwehren. Es wäre zumindest rational gewesen, so zu handeln.

Da ist ein allgemeines Prinzip, das dahinter steckt. Normalerweise mögen Menschen Risiko nicht – es sei denn, sie sind gerade dabei zu verlieren; dann lieben Sie Risiko. Das ist in Kürze der Inhalt der „Prospect Theory“ von Daniel Kahneman und Amos Tversky, für die Kahnemann im Jahr 2002 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften verliehen bekam (Amos Tversky konnte ihn nicht mehr bekommen, weil er 1996 gestorben ist). Der eine Teil der Prospect-Theorie ist sozusagen klassisch: Dass Menschen Risiko nicht mögen, war schon seit langem die Standardannahme in der Nutzentheorie (also der Theorie, die mathematisch analysiert, was Menschen mögen und was nicht). Der andere Teil der Theorie aber war neu, nämlich dass Menschen umschalten, wenn sie verlieren, und auf einmal Risiko mögen. Warum ist das so?

Es liegt in der Natur der Auszahlungen (was nur ein anderes Wort für Spielausgänge ist). Werfen Sie einmal einen Blick auf die Auszahlungen an die deutsche Nationalmannschaft. Wenn sie verliert, bezeichnen wir das hier einfach einmal mit dem Zahlenwert –1, wenn sie gewinnt mit +1, ein Unentschieden mit 0 (bei einer Fußball-Weltmeisterschaft wird so lange weitergemacht, bis ein Sieger feststeht – und sei es durch Elfmeterschießen, was in der letzten Phase einem Losentscheid sehr nahe kommt. Eine Auszahlung von null heißt, dass hierbei beide Mannschaften die gleichen Chancen haben). Eine Mannschaft gewinnt, wenn sie mindestens ein Tor mehr hat als die gegnerische Mannschaft. Die Auszahlungsfunktion springt also an dieser Stelle von –1 auf 0 und weiter auf +1 – das ist nichts weiter als die Übersetzung der Spielausgänge verlieren, unentschieden und gewinnen in Zahlenwerte. Bei –1 liegt die Auszahlung, ganz gleich mit wievielen Toren man im Rückstand liegt. Auch wenn eine Mannschaft von einem Tor Rückstand auf fünf Tore zurückfällt, bleibt die „Auszahlung“ dieselbe, nämlich –1, weil das Spiel verloren ist.

Diese Sprungstelle existiert strenggenommen nur in der letzten Minute. Je mehr Spielzeit noch verbliebt, desto wichtiger wird es, wieviele Tore man im Rückstand oder Vorsprung ist, weil damit der Puffer umso größer wird, der unschöne Ereignisse im Spielverlauf abfedern kann. Beamen wir uns also in die letzte Spielminute, in der nur noch ein einziger Angriff möglich ist, bevor abgepfiffen wird. Stellen wir uns zudem etwas vereinfachend vor, eine Mannschaft könne zwischen zwei Strategien wählen: Strategie „Sicherheit“, mit der man jedes Tor der Gegner verhindern kann, aber auch kein eigenes schießen kann; oder Strategie „Risiko“, bei der man eine Lotterie eingeht, bei der man am Ende entweder ein eigenes Tor mehr hat – oder noch einen Ball mehr im eigenen Tor.

Am Anfang eines Spiels würde die Mannschaft wohl nur eine solche Lotterie eingehen, bei der die Chancen etwa ausgeglichen sind, ein Tor zu schießen oder eines ins eigene Tor zu bekommen. Denn dann ist der Erwartungswert der beiden Strategien etwa gleich, nämlich null. Das kommt daher, dass die Strategie Sicherheit die Auszahlung von null garantiert, die Strategie Risiko dagegen entweder -1 oder +1 beschert, im Erwartungswert also ebenfalls null, sofern die Chancen ausgeglichen sind. Daher mag unsere Mannschaft die beiden Strategien etwa gleich gern.

Wenn man im Rückstand ist, ändert sich das aber, besonders gegen Ende des Spiels. Die einzige Chance besteht dann darin, noch ein Tor zu schießen. Wie schlecht dürfen in dieser Situation die Chancen für das eigene Tor stehen, damit sich das Eingehen eines Risikos noch lohnt? Nun: beliebig schlecht. Denn eine Mannschaft, die genau ein Tor im Rückstand liegt, hat sicher verloren, wenn sie auf Sicherheit spielt. Die Auszahlung bei der Strategie „Sicherheit“ ist auf jeden Fall –1, bei der Strategie „Risiko“ hängt sie von der Wahrscheinlichkeit ab, mit der man selbst ein Tor schießt. Da wir ja vereinfachend angenommen haben, dass bei der Strategie Risiko entweder die eine oder die andere Mannschaft ein Tor schießt (also mit Sicherheit eines fällt), ist die Auszahlung in diesem Fall 0*p – 1*(1-p). Null, weil das eigene Tor nur zu einem Unentschieden führt, -1 weil man auch dann „nur“ verliert, wenn die Gegner zwei Tore mehr haben als man selbst.

Etwas umgeformt ist der Ausdruck von eben gleich p-1. Dies soll größer sein als der sichere Verlust der Partie, also größer als –1. Wenn aber p-1 > -1 sein soll, dann ist das immer erfüllt, wenn p>0 ist. Mit anderen Worten: solange nur eine verschwindend kleine Wahrscheinlichkeit besteht, durch die Strategie „Risiko“ noch ein eigenes Tor zu schießen, dann geht man dieses Risiko ein. Und das selbst dann, wenn durch diese Strategie praktisch sicher die Gegner ein Tor schießen und nicht man selbst.

Dieser Fall ist natürlich extrem. Und zwar deshalb, weil es nur noch eine einzige Lotterie im gesamten Spiel gibt. Die Welt sieht anders aus, wenn eine Mannschaft zu Beginn der zweiten Halbzeit um ein Tor zurückliegt. Auch hier kann sie nicht mehr die gesamte Zeit die Strategie Sicherheit wählen ohne zu verlieren, aber sie wird „Risiko“ nur dann wählen, wenn die Chancen deutlich besser stehen als im Beispiel von eben. Aber auch hier wird sie das Risiko eingehen, selbst wenn die Chancen schlechter als 50% sind – also anders als wenn sie einen Gleichstand hätte. Mit anderen Worten: im Verlustbereich sind wir bereit, eine Lotterie einzugehen, obwohl wir bei der Lotterie im Erwartungswert etwas verlieren. Wir wählen die Lotterie sozusagen um ihres Risikos Willen – und genau das ist Risikofreude.

Das Verhalten, das die meisten Menschen im Bezug auf Risiko an den Tag legen und das Kahneman und Tversky in ihrer Prospect Theory beschrieben haben, ist also durchaus eine rationale Verhaltensweise, wenn die Auszahlungen über einen Bereich hinweg gleich bleiben und dann an einer Stelle plötzlich springen – und das ist zum Beispiel der klassische Fall bei Sportveranstaltungen, in denen es eben nur einen Sieger und viele Verlierer gibt. Es ist auch eine Situation, mit der Tiere im Laufe der Evolution vielfach vertraut geworden sind. Ob ein Tier ein bisschen verletzt ist oder sehr stark macht in der Natur meist keinen großen Unterschied; denn ein auch nur leicht verletztes Tier überlebt in der Regel nicht mehr viele Tage.

Daher haben wir schon in der Evolution und später im eigenen Leben oft die Erfahrung gemacht, dass einen im Verlustbereich nur noch ein Wunder retten kann. Aber Wunder geschehen nicht, wenn man auf Sicherheit geht, sondern man muss ihnen schon eine Chance geben – und die heißt Risiko. Deshalb handeln wir umso risikofreudiger, je dichter uns das Wasser am Hals steht.

Literatur

Kahneman, David / Tversky, Amos (1979): Prospect theory – An analysis of decision under risk, Econometrica 47.2, 263-291.

Kahneman, David. / Tversky, Amos (Hrsg.), (2000): Choices, values and frames, Cambridge University Press, Cambridge.

 

 

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