Version vom 13.07.2007
Erstversion vom 20.06.2007

Wahlrecht und Quadratwurzel

Demokratie heißt „One man, one vote“. Können beim Quadratwurzelverfahren auch Deutsche ihren Mann stehen? Was wäre, wenn man das Quadratwurzel-Verfahren auf Südafrika anwenden würde? 

Heutzutage ist man ein Mann (one man), wenn man ein Mensch ist. In der EU ist man aber kein Mensch, wenn man Deutscher oder Franzose ist, zumindest ist man kein ganzer Mensch. Denn die 82 Millionen Deutschen haben derzeit in der EU 29 Stimmen, die 39 Millionen Polen haben 27 Stimmen. Somit hat jeder Pole etwa doppelt so viele Stimmen wie ein Deutscher. Das ist etwa so gut, wie wenn man die Stimmen nach dem dekadischen Logarithmus der Bevölkerungszahl vergeben würde, man kann also schon einmal eine mathematische Funktion nennen, die zu diesem Ergebnis führt, aber besonders gerecht wird es dadurch noch nicht.

Dieser Zustand soll gerade geändert werden, aber die Polen verlangen, dass die Stimmen nach der Quadratwurzel der Bevölkerungszahl vergeben werden. Die 82 Millionen Deutschen hätten dann 9072 Stimmen, die 39 Millionen Polen hätten 6205 Stimmen (natürlich kann man diese Stimmenzahl noch durch eine Konstante teilen, damit die Zahlen nicht so groß sind). Umgerechnet heißt das, dass ein Deutscher eine Stimme hat, ein Pole dagegen 1,46 Stimmen. Damit würde ein Deutscher vom halben Menschen auf immerhin 68% Mensch aufsteigen. Gegenüber einem der 470.000 Luxemburger wäre ein Deutscher allerdings auch danach nur 7% Mensch.

Wie kann so etwas sein? Es gibt einige Mathematiker, die derzeit die These vertreten, das Quadratwurzelverfahren sei das einzig gerechte Verfahren. Nun kann Mathematik bekanntlich nichts Neues hinzufügen, sondern gibt uns nur eine andere Sicht auf das, wovon wir ausgegangen sind. Einmal angenommen, wir starten mit plausiblen Aussagen, betreiben ein wenig Mathematik und erhalten dann ein Ergebnis, das völlig dem widerspricht, was wir für gerecht halten. Dann müssten wir einsehen, dass unsere plausiblen Anfangsannahmen etwas enthielten, das wir in der ursprünglichen Darstellung nicht verstanden haben, dass also unsere Ausgangsposition etwas Ungerechtes enthielt. Die Mathematik würde uns helfen, die Ungerechtigkeit an einer Stelle zu erkennen, an der sie so gut versteckt war, dass wir sie ohne ihre Hilfe nicht finden konnten. Es hieße dagegen nicht, dass wir auf einmal etwas akzeptieren sollten, was wir für falsch halten.

Das Prinzip der Quadratwurzel auf Südafrika angewandt, würde den 37 Millionen schwarzen Afrikanern 6105 Stimmen bescheren, den 9,6 Millionen weißen Afrikanern 3100 Stimmen. Jeder Weiße hätte dann etwa zwei Stimmen, jeder Schwarze eine Stimme. Halten wir dieses Ergebnis für gerecht oder für ungerecht? Ist ein Verfahren in Europa gerecht, das in Südafrika ungerecht ist?

Woher kommt die Quadratwurzel-Wahl eigentlich?

Wieso verschicken nun einige Mathematiker offene Briefe, in denen sie ein Wahlrecht propagieren, das in Südafrika eine Wiedereinführung der Apartheid bedeuten würde? Um zu verstehen, wo sie sich selbst in die Irre leiten, muss man ein wenig genauer hinsehen, wie das Quadratwurzel-Verfahren überhaupt begründet wird. Zunächst einmal wird es nicht für jede beliebige Wahl vorgeschlagen, sondern nur für solche Abstimmungen, bei denen ganzen Gruppen von Personen einem Vorschlag nur komplett zustimmen oder ihn ablehnen können.

Also genau der Situation, um die es hier geht: Jedes Land kann einem Vorschlag, über den im EU-Rat abgestimmt werden soll, nur zustimmen oder ihn ablehnen. Dabei hat jedes Land ein Stimmengewicht, das vorher festgelegt wurde und mit dem es vollständig mit ja oder nein stimmen muss. Das Wahlverfahren ist also sozusagen zweistufig: In einer ersten Stufe stimmen die Bürger darüber ab, wie ihre Stimmen in einer zweiten Stufe im EU-Rat eingesetzt werden sollen. (Natürlich ist es eigentlich noch schlimmer: Die Bürger stimmen gar nicht über jede Einzelentscheidung ab, sondern entsenden für mehrere Jahre Vertreter, die in ihrem Sinne abstimmen sollen. Und selbst diese Vertreter wählen die Bürger nicht selbst, sondern sie wählen Vertreter, die diese Vertreter benennen. Ob das noch als demokratisches Wahlverfahren anzusehen ist, ist allerdings kein mathematisches Problem, daher lassen wir es hier einmal beiseite).

Für diese Situation kann man sich nun fragen, wieviel eine Stimme eigentlich wert ist. Offenbar gibt die Stimme eines einzelnen Bürgers nur dann den Ausschlag, wenn alle anderen Stimmen desselben Landes sich gerade die Waage halten und durch seine Entscheidung die Entscheidung des ganzen Landes beeinflusst wird. Für die verschiedenen Stimmengewichte der einzelnen Länder kann man ausrechnen, wie groß der Einfluss des einzelnen Bürgers auf das gesamte Abstimmungsergebnis ist. Mit ein wenig mathematischem Voodoo kann man dann zeigen, dass der so definierte Einfluss eines jeden Bürgers über die verschiedenen Länder hinweg gleich groß ist, wenn im zweiten Teil der Abstimmung das Stimmengewicht der Länder proportional zur Quadratwurzel der Bevölkerungszahl festgelegt wurde. Das ist schön elegant und begeistert daher Mathematiker und Physiker ebenso.

Einziger Schönheitsfehler: In Südafrika hätte nach diesem Verfahren ein Weißer eben doppelt so viele Stimmen wie ein Schwarzer. Irgendwie nicht so überzeugend, oder? Wo liegt also der Fehler in der Argumentationskette?

Die Grenze der Quadratwurzel

Das Problem steckt, wie in der Mathematik eigentlich immer, in den Voraussetzungen, mit denen man startet. Sehen wir uns noch einmal kurz an, wie die „Macht“ des einzelnen Bürgers berechnet wird: Alle anderen Mitbürger seines Landes müssen maximal uneinig sein und zur einen Hälfte mit ja stimmen wollen, zur anderen Hälfte mit nein. Wenn das der Fall ist, dann ist das Verfahren Quadratwurzel-Verfahren „gerecht“. Diese Annahme verkennt aber völlig, dass innerhalb eines Landes selbstverständlich häufig eine Meinung sehr stark vorherrschend ist.

Nehmen wir das andere Extrem, dass sich alle Bürger eines Landes generell völlig einig sind und immer geschlossen mit ja oder nein stimmen wollen. Dann wäre das einzig gerechte Verfahren für die zweite Abstimmungsstufe im EU-Rat, dass das Stimmgewicht exakt proportional zur Bevölkerungszahl ist.

Genau hier sehen wir auch den Grund, weshalb die Wahl nach der Quadratwurzel in Südafrika so offensichtlich ungerecht ist: Wir gehen hier instinktiv von einer weitgehend einheitlichen Meinung innerhalb der beiden Bevölkerungsgruppen aus und sehen sofort, dass es eine ungerechtfertigte Benachteiligung für die größere Gruppe wäre, wenn ihr Stimmengewicht unterproportional zur Bevölkerungszahl wachsen würde.

Der Zusammenhang der individuellen Meinungen der Bürger eines Landes ist also ein entscheidender Faktor, der beim Wahlrecht mit berücksichtigt werden muss. Mathematisch ausgedrückt ist das die Korrelation der Meinungen der einzelnen Bürger. Ist die Korrelation gleich eins, dann sind sich alle Bürger generell völlig einig, ist sie gleich null, dann ist die Meinung eines Bürgers völlig unabhängig von den Meinungen seines Mitbürgers. Die Vertreter der Quadratwurzel unterstellen implizit, dass die Korrelation der Meinungen innerhalb der Länder gleich null ist. Das hieße, dass jeder Bürger mit derselben Wahrscheinlichkeit die gleiche Meinung seines Nachbarn vertritt wie die eines auf der anderen Seite Europas lebenden Menschen. So etwas wie „nationale Interessen“ gibt es bei dieser Grundannahme nicht. Bei den Beweis-Voraussetzungen für die Gerechtigkeit des Quadratwurzel-Verfahrens, gibt es kein unterschiedliches Klima, keine unterschiedlichen Gewohnheiten, keinen unterschiedlichen Glauben, keinen Kulturkreis – kurz es gäbe nichts, was die Vielfalt der Kulturen in Europa eben ausmacht. Zum Glück ist das nur die Grundannahme in einem mathematischen Modell und nicht die Wirklichkeit Europas.

Aber nur in dem rein fiktiven Europa des normierten Bürgers ohne jeden eigenen Kulturhintergrund ist das Quadratwurzel-Verfahren „gerecht“. Das  reale Europa ist zum Glück anders. Wer unseren Kontinent bereist, der weiß, dass es hier viele ausgeprägte, alte und unterschiedliche Kulturen gibt. Dass die Menschen in Italien eben anders denken als wir, dass die Zyprioten eine andere gemeinsame Vergangenheit haben als die Dänen. Und dass das gut so ist.

Diese Tatsache des Nebeneinanders von Kulturen muss sich aber auch im Wahlrecht äußern. Wie könnte das aussehen?

Wahlrecht über die Quadratwurzel hinaus

Interessanterweise liefert einer der wesentlichen Befürworter des Quadratwurzel-Verfahrens auch schon die Lösung für ein gerechtes Wahlverfahren, weigert sich aber im letzten Absatz seines eigenen Forschungspapiers, das zur Kenntnis zu nehmen. Werner Kirsch untersucht recht ausführlich mathematisch, was man tun muss, wenn innerhalb der einzelnen Staaten die Meinungen der einzelnen Bürger korreliert sind. Und natürlich kommt das heraus, was der gesunde Menschenverstand auch schon erschlossen hat: Je größer die Korrelation der Meinungen innerhalb eines Landes, desto eher muss sich das Stimmengewicht von der Quadratwurzel wegbewegen und sich der Proportionalität der Bevölkerungszahl annähern. Drücken wir es etwas allgemeiner aus:

Das Stimmgewicht eines Landes kann proportional zu B^k sein. Darin ist B die Bevölkerungszahl und k ein Parameter, den wir nach Gerechtigkeitsüberlegungen anpassen wollen. Wenn k=0,5, dann liegt genau die Quadratwurzel vor; wenn k=1, dann ist das Stimmengewicht proportional zur Bevölkerungszahl. Wenn es überhaupt keinerlei nationale Gemeinsamkeiten gäbe, dann wäre k=0,5 in dem Sinne „gerecht“, dass der Einfluss des einzelnen Bürgers aus jedem Land auf das zweistufige Abstimmungsergebnis gleich groß ist. Gibt es dagegen kulturelle Unterschiede zwischen den Ländern und kulturelle Gemeinsamkeiten innerhalb der Länder, dann muss ein größeres k verwendet werden, damit es gerecht wird. Also das, was der derzeitige Vertrag vorsieht, wenn auch ein wenig unelegant und ungenau.

Das gilt für Europa ebenso wie es für Südafrika gelten würde.