|
Überblick
Die gemischte Strategie ist ein Arte Lautstärkeregler in der
Spieltheorie - wie das funktioniert, erfahren Sie hier. Aber zuvor noch
die etwas langweilige Definition für den eiligen Leser:
Wählt ein Spieler eine gemischte Strategie, dann wählt er keine
seiner reinen Strategien direkt aus, sondern er wählt statt dessen einen
Zufallsmechanismus aus, der anschließend eine reine Strategie wählt.
Formal ist eine gemischte Strategie also eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen Strategien eines Spielers,
bei der mindestens zwei Strategien mit positiver Wahrscheinlichkeit ausgewählt
werden. Falls Sie das zu mathematisch finden, dann habe ich für Sie
hier noch die Version
zum Abgewöhnen.
Dann vielleicht doch lieber ein etwas anschaulicheres Beispiel: Ein Spieler hat die beiden Strategien A und B zur Auswahl.
Entscheidet er sich nun dafür, A zu wählen, dann wählt er eine reine
Strategie (eben die reine Strategie A). Wenn er statt dessen ankündigt,
dass er zunächst würfelt und nur dann die reine Strategie A wählt, wenn
er eine sechs gewürfelt hat, dann spielt er eine gemischte Strategie.
Denn statt einer reinen Strategie hat er nun einen Zufallsmechanismus gewählt,
der an seiner Stelle die reine Strategie auswählt. Die gemischte
Strategie besteht jetzt darin, dass er A mit einer Wahrscheinlichkeit von
1/6 wählt und B mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/6 (also der
Gegenwahrscheinlichkeit zu 1/6, weil bei allen anderen Würfen von eins
bis fünf die Strategie B gewählt wird).
Wozu braucht man gemischte Strategien?
Wenn man keine gemischten Strategien hätte, dann hätte nicht jedes
Spiel ein Nash-Gleichgewicht und
weder John Nash noch all die anderen Spieltheoretiker hätten ihre
Nobelpreise bekommen, weil das ganze Konzept dann in zu vielen Fällen
keine Antworten hätte geben können.
Ein einfaches Beispiel für ein Spiel ohne Nash-Gleichgewicht
ist Knobeln (oft auch Schnick-Schnack-Schnuck oder Papier, Stein, Schere
genannt). Es ist offensichtlich, dass es hier nicht optimal sein kann,
immer dieselbe der drei reinen Strategien zu wählen, sondern dass man
zwischen den reinen Strategien Papier, Stein und Schere in möglichst
unberechenbarer Weise mischen muss. "Möglichst unberechenbar"
ist aber gleichbedeutend mit "zufällig", und schon haben wir
einen Fall, in dem sich gemischte Strategien ganz intuitiv ergeben.
Die Idee hinter den gemischten Strategien besteht darin, dass man die
Wirkung reiner Strategien wie an einem Lautstärkeregler regulieren möchte.
Nehmen wir dafür ein Beispiel aus dem Kalten Krieg (vielleicht sollte ich
dazusagen, dass die ersten bedeutenden Anwendungen und umfangreicheren
Forschungen der Spieltheorie im militärischen Bereich waren):
Eine Atommacht hat alle konventionellen Waffen abgeschafft und besitzt
nur noch eine gigantische Atombombe, die den Feind völlig vernichtet,
wenn sie einmal ausgelöst wurde. Allerdings ist die Verwendung nicht ganz
unbedenklich, weil die Bombe auch zahlreiche Kollateralschäden
verursacht. Was macht die Atommacht nun, wenn sie provoziert wird? Sie
kann jeweils die Atombombe auslösen (Strategie A) oder nichts tun
(Strategie B). Das Problem ist nur, dass bei fast jeder Provokation die
Atombombe eine klare Überreaktion wäre, aber die Alternative nichts zu
tun auch nicht immer eine überzeugende Verhaltensweise ist. Die Atommacht
wird sich also wünschen, die Wirkung ihrer Strategie A dosieren zu können
- genau das ist aber aufgrund der Natur der Bombe nicht möglich.
Die Lösung ist hier eine gemischte Strategie. Anstatt die Bombe tatsächlich
auszulösen, könnte das Militär einen Mechanismus einbauen, der die
Bombe lediglich mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit auslöst. Wenn
man diesen Auslösemechanismus nun noch mit einem Regler ausstattet, dann
hat man exakt den Fall einer gemischten Strategie. Fährt nun ein
gegnerisches Kriegsschiff in die eigenen Hoheitsgewässer, dann kann man
den Regler ein wenig hochdrehen; kommt eine ganze Flotte, dann dreht man
den Regler entsprechend weiter. Auf diese Weise kann man exakt dosiert auf
den Grad der Provokation reagieren. Erst hierdurch wird es möglich, tatsächlich
angemessen auf das Verhalten des Gegners zu reagieren, und das heißt:
erst hierdurch entsteht die Möglichkeit für ein Nash-Gleichgewicht.
Natürlich zeigt das Beispiel auch einige Problempunkte der gemischten
Strategien: Kann man eigentlich rein technisch einen Mechanismus bauen,
der tatsächlich völlig auf sich allein gestellt einen Atomangriff auslöst?
Oder gibt es nicht immer irgend eine Möglichkeit, ihn letztlich doch
wieder zu deaktivieren? Diese Frage ist in diesem Beispiel wichtig, weil
die Atommacht ja fast nie wirklich will, dass die Bombe ausgelöst wird.
In anderen Fällen ist dies kein Problem, weil der mischende Spieler oft
einen Anreiz hat, sich tatsächlich den Vorgaben seines Zufallsmechanismus
entsprechend zu verhalten. Dies ist z.B. beim Knobeln der Fall.
Und einmal angenommen, der Zufallsauslöser sei technisch realisierbar,
würde die eigene Bevölkerung eine solche Teufelsmaschine akzeptieren? In
der Tat empfinden viele Menschen den Ratschlag als gradewegs absurd,
wichtige Entscheidungen des Lebens einem Zufallsprozess zu überlassen,
selbst dann, wenn es ganz offensichtlich die beste Verhaltensweise ist.
Aber selbst wenn all dies gelöst wäre, wie würde man dann eigentlich
den Zufallsprozess selbst realisieren? Die Zufallszahlengeneratoren in
Computern sind in aller Regle nur Pseudozufallsgeneratoren, will heißen,
in Wahrheit steckt ein deterministischer Prozess dahinter, der potenziell
vorhersagbar ist. Man stände dann vor ähnlichen Problemen wie in der
Verschlüsselungstechnik, in der auch immer wieder "echte"
Zufallszahlen benötigt werden. Allerdings ist dieses Problem sicherlich
noch das kleinste der genannten, denn man kann physikalische Prozesse
verwenden, die hinreichend "zufällig" sind. Einfachstes
Beispiel sind Rouletteräder. Was man aber auf keinen Fall verwenden
sollte, sind scheinbare Zufälligkeiten, die man sich selbst ausgedacht
hat. Denn Menschen sind außerordentlich schlecht darin, Entscheidungen
zufällig zu treffen, denn sie produzieren meist recht leicht
vorhersagbare Abweichungen von tatsächlich zufälligen Entscheidungen.
Man sieht: Gemischte Strategien sind für die gesamte Spieltheorie sehr
wichtig, aber sie sind philosophisch nicht unproblematisch. Zum Glück
gibt es eine ganze Reihe anderer Interpretationen der gemischten Strategie
als die hier beschriebene Brachialinterpretation. Diese Erörterungen
findet man unter dem Begriff Purification - was ein schönes Thema für
einen zukünftigen Beitrag von mir ist. Bis dahin könnten Sie es auch
schon einmal in meinem Spieltheorie-Buch
nachlesen.
Häufige Fragen zur gemischten Strategie
Ist eine gemischte Strategie nicht einfach nur die "Umwelt"
der klassischen Entscheidungstheorie?
In der klassischen
Entscheidungstheorie spielt man nicht gegen eine vernunftbegabte
Gegenspielerin, sondern gegen die Natur, deren Verhalten durch eine
Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt wird. Wenn eine vernunftbegabte
Gegenspielerin nun aber eine gemischte Strategie spielt, dann wählt sie
ja auch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, gegen die wir anschließend
spielen. Wo ist denn nun der Unterschied? Oder kommen wir nach langen Überlegungen
über die Vernunftbegabung von Spielern wieder genau dort an, wo wir in
der klassischen Entscheidungstheorie schon waren?
Man merkt den Unterschied zwischen den beiden Situationen sofort, wenn
man sich klarmacht, wo die Wahrscheinlichkeitsverteilungen herkommen: In
der klassischen Entscheidungstheorie wird die Verteilung von einem
externen Mechanismus ausgewählt, der keinerlei eigene Interessen
verfolgt. Klassischerweise ist das das Wetter, woher auch wohl der Begriff
"Spiel gegen die Natur" kommt. Eine gemischte Strategie wird
aber von einer vernunftbegabten Gegenspielerin gewählt. Und diese wird
die Wahrscheinlichkeitsverteilung so wählen, dass es aus ihrer Sicht
optimal ist. Während in der klassischen Entscheidungstheorie die
Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Umweltzustände exogen vorgegeben
und unveränderlich ist, wird eine gemischte Strategie aufgrund der Überlegungen
und Präferenzen einer vernunftbegabten Gegenspielerin ausgewählt, die
eigene Interessen verfolgt. Und das ist ein gewaltiger Unterschied.
Aber wieso gibt es dann ganze Abhandlungen darüber, wie man sich in
derartigen Situationen optimal verhält?
Über Schnick-Schnack-Schnuck
gibt es ganze Webseiten, die dem geneigten Leser erklären, welches die
optimale Strategie ist. Ich behaupte mal, das ist zu 50% Psychologie und
zu 50% Unwissenheit (die natürlich nur daraus entsteht, dass die
Seitenbetreiber mein Spieltheorie-Buch
nicht gelesen haben).
Und wie rechnet man eine gemischte Strategie aus?
Diese Frage basiert vermutlich auf einem Missverständnis: Eine
gemischte Strategie braucht man nicht auszurechnen, sondern man gibt sie
an, indem man die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die reinen
Strategien benennt (natürlich so, dass die Wahrscheinlichkeiten sich zu
eins ergänzen). Vermutlich zielt die Frage darauf ab, wie man ein
Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien berechnet. Das ist damit aber
eine Frage, die ich bei Gelegenheit einmal im Zusammenhang mit dem Nash-Gleichgewicht
beantworten werde. Und Sie werden es schon ahnen: In meinem Spieltheorie-Buch
steht auch, wie es geht.
|
|