Wieviele Steuerfahnder braucht das Land? 

Version vom 20.11.2009
Erstversion vom 20.02.2008

Steuerfahndung 

ist eine klassische spieltheoretische Situation: Es ist ein Diskoordinationsspiel. Bei diesen Spielen versucht ein Spieler immer, den anderen zu erwischen, der andere versucht zu entwischen - eben das Gegenteil von Koordination. 

Lesen Sie in der rechten Spalte, wie sich die Spieler in dieser Situation verhalten sollten und wieso es für den Staat optimal ist, nicht zu viel zu prüfen. 

Jeder Steuerfahnder bringt dem Staat eine Million jährlich - daher brauchen wir mehr davon. Sagt die Deutsche Steuergewerkschaft. Aber sie irrt sich. 

Das Fahnder-Spiel ist eines der klassischen Spiele in der Spieltheorie: Es lässt sich in der einfachsten Form als ein Spiel mit zwei Spielern modellieren: einen Spieler, der etwas Verbotenes tun kann, und einen, der stichprobenartig nachprüfen soll. 

Diese Situation kann man in der Normalform folgendermaßen darstellen (die erste Zahl in Klammern ist die Auszahlung an den Steuerzahler, die zweite Zahl die Auszahlung für die Steuerfahnderin): 

Wir setzen hier den ehrlichen Steuerzahler als den Referenzpunkt: Er erhält eine Auszahlung von null, egal, was die Fahnderin macht (wie gesagt, in der Grundform; in der Realität würde ich mich hier nicht für alle Fahnderinnen verbürgen, denn "irgendetwas finden sie immer", wie man in einschlägigen Steuerbüchern nachlesen kann; aber lassen wir das hier der Einfachheit halber beiseite). Und nur zur Sicherheit: Eine Auszahlung von null heißt hier nur, dass wir diesen Punkt als Referenzpunkt für die anderen Auszahlungen definieren. 

Das gleiche machen wir bei der Fahnderin: Bei ihr ist der Referenzpunkt das Nicht-Prüfen, für den wir uns vorstellen, dass es ihr egal ist, ob sie einen Steuerhinterzieher durch Untätigkeit nicht erwischt (schließlich ist sie - wie ich - Beamtin). Prüft sie hingegen, dann kostet sie das eine Auszahlung von -1; das ist der Preis für ihren Prüfaufwand. Er ist verloren, wenn sie nichts findet, aber wenn sie den Hinterzieher erwischt, dann bringt ihr das einen Bonus in Höhe von B, allerdings abzüglich der Prüfkosten in Höhe von -1 [3]. Der Bonus muss kein Geld sein, sondern kann auch Ansehen bei ihrem Chef oder Freund sein. Des weiteren gehen wir hier davon aus, dass sie einen echten Hinterzieher im Fall einer Prüfung immer erwischt und einen ehrlichen Steuerzahler ebenfalls immer (an-) erkennt. 

Für den Steuerzahler wird es erst spannend, wenn er hinterzieht. Statt der langweiligen 0 erhält er hier entweder die Auszahlungen von 1 (wieder eine Normierung, aber sagen wir aus gegebenem Anlass ruhig einmal, das sei eine Million) oder die Strafe S, die natürlich negativ ist. 

Bitte beachten Sie, die Auszahlungen nicht über die Spieler hinweg vergleichbar sind, sondern nur innerhalb eines Spielers. Auch falls der Bonus B der Fahnderin nur Kleinkram gegenüber den Beträgen des potenziellen Steuerhinterziehers sein sollte, ist er für sie wichtig. Insbesondere ist das Verhältnis zu den Prüfkosten wichtig. 

So prüft die optimale Steuerfahnderin 

Wo liegt nun die Lösung dieses Spiels? Die einfache Antwort: Es gibt keine eindeutige Lösung in "reinen Strategien", sondern nur in gemischten Strategien. Anschaulich heißt das: Beide müssen zufällig mal das eine, mal das andere tun. Würde der Steuerzahler immer hinterziehen, wäre es nicht optimal für ihn, weil dann die Fahnderin immer prüfen könnte und jedes Mal ihren Bonus bekommen würde. Daher würde sich der Steuerzahler nicht so verhalten, denn er bekäme dann jedesmal die Strafe. Ein Gleichgewicht entsteht hier erst, wenn beide Spieler maximal unberechenbar sind, und das ist nur dann gegeben, wenn sie ihre Strategien zufällig wählen. Vermutlich ist es übrigens auch genau das, was die echten Fahnderinnen bzw. Außenprüferinnen auch tun: Sie haben zwar Kriterien, nach denen sie die Wahrscheinlichkeiten festlegen, aber innerhalb der verschiedenen Gruppen wählen sie vermutlich weitgehend zufällig aus. 

Bleibt nur noch die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie zwischen den beiden Strategien zufällig auswählen sollten. Um das auszurechnen, geben wir den Wahrscheinlichkeiten erst einmal Namen, mit der die beiden Spieler Ihre reinen Strategien auswählen: q ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der Steuerzahler hinterzieht, p ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die Fahnderin prüft. In die Matrix eingetragen sieht das so aus: 

Dann kaufen Sie sich mein Spieltheorie-Buch und lesen dort genau nach, wie man das Gleichgewicht in gemischten Strategien im Detail berechnet. Es läuft aber darauf hinaus, dass wir nun die Wahrscheinlichkeit für alle vier Spielausgänge abhängig von den beiden Einzelwahrscheinlichkeiten p und q schreiben und dann in der so entstandenen Funktion das Auszahlungsmaximum des jeweiligen Spielers in Abhängigkeit von seiner eigenen Wahrscheinlichkeit suchen. Mit anderen Worten, wir fragen uns: Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss die Fahnderin prüfen, damit sie (im Erwartungswert) die maximale Auszahlung bekommt? Gleichzeitig fragen wir uns auch: Mit welcher Wahrscheinlichkeit sollte der Steuerzahler hinterziehen, damit er den maximalen Gewinn hat? 

Zwei Ableitungen später kommt als Ergebnis heraus: q = 1/B und p = 1/(1+S). Wer es nachvollziehen will: Wie gesagt, sehen Sie in einem guten Spieltheorie-Buch nach und schreiben mir, falls ich mich verrechnet habe. Alle anderen glauben mir das Ergebnis einfach und interpretieren es mit mir: 

q = 1/B heißt: Je höher der Erfolgsbonus für die Fahnderin, desto seltener sollte der Steuerzahler hinterziehen. Allerdings ist die Funktion eine Hyperbel: Dass es überhaupt einen Bonus gibt ist wichtig, aber er bewirkt immer weniger zusätzlich, je höher er wird. 

p = 1/(1+S) hat ebenfalls eine ebenso anschauliche wie plausible Interpretation: Je höher die Strafe im Entdeckungsfall ist, desto seltener braucht die Fahnderin zu prüfen. Klar, denn dann traut sich der Steuerzahler nur seltener zu hinterziehen. Aber die Formel hält noch eine Überraschung für die Steuergewerkschaft bereit: die optimale Prüfwahrscheinlichkeit liegt sehr weit von 100% entfernt. Versuchen wir einmal, die Werte abzuschätzen: 

Wie hoch ist die Strafe S im Vergleich zur möglichen Steuerersparnis? Die Antwortet lautet (aller Neiddebatte zum Trotz): die Strafe ist verdammt hoch. Auf Steuerdelikte gibt es bis zu 10 Jahren Haftstrafe, das ist vergleichbar mit Totschlag. Außerdem ist für jeden unbescholtenen Bürger die Karriere nach einer solchen Aktion ein für alle mal beendet. Herr Zumwinkel hätte mit Sicherheit allein an Gehalt und möglicher Abfindung weit mehr bekommen als die Million, die er hinterzogen haben soll. Der Imageverlust ist ebenfalls weit höher als eine Million für ihn. Sagen wir also einmal, die Strafe sei S = 5. Dann ist die optimale Prüfwahrscheinlichkeit für die Fahnderin p = 1/(1+5) = 1/6. Das ist mit Sicherheit ziemlich nah am echten Wert. Für uns Normalverdiener ist S sicherlich noch viel höher, weil wir im Vergleich zur möglichen Ersparnis so riesige Transaktionskosten haben. Daher reicht für den Kleinsteuerzahler schon eine Prüfwahrscheinlichkeit von 1/20, um aus staatlicher Sicht optimal zu sein.  

So weit die Berechnungen. Aber was passiert eigentlich, wenn die Prüferin meine Formeln einfach nicht glaubt und häufiger prüft? Ganz einfach: Sie bekommt weniger Bonus. Denn die Reaktion des Steuerzahlers darauf ist, dass er seltener hinterzieht. Daher wendet sie jeweils die Prüfkosten auf, nur um festzustellen, dass er nicht hinterzogen hat. Das wird teuer für sie. 

Wie die Fahnderin, so die Kanzlerin  

Nun können wir auch eine Abstraktionsstufe höher gehen: Nicht mehr die Fahnderin spielt gegen den Steuerzahler, sondern die Bundeskanzlerin gegen die Steuerzahler. Auch sie bekommt durch die Prüfung im Erfolgsfall einen Bonus (das sind die zusätzlich erhobenen Steuern und die Strafen), und auch sie entscheidet über die Wahrscheinlichkeit, mit der geprüft wird (mittels der Anzahl der Prüferinnen). Auch hier gilt: Es kommt nicht auf die Höhe des Bonus im Vergleich zum Steuerzahler an, sondern auf den Vergleich zu den Prüfkosten und zur Nicht-Prüfung, die wir auch für die Kanzlerin als null normiert haben. Folglich gelten für sie die gleichen Formeln wie für die einzelne Fahnderin. Und auch hier gilt: Zu viel prüfen ist nicht optimal, sondern führt dazu, dass sie durch die Prüfkosten mehr verliert als sie durch die Prüfungen gewinnt. 

Was zu der Aufgabe führt, die Prüfkosten einmal abzuschätzen. Die liegen nämlich keineswegs in dem (eher geringen) Beamtenlohn, sondern in dem Teil der Reaktionen der Steuerzahler, die wir hier nicht mit abgebildet haben. Denn einmal Hand aufs Herz: Wollen Sie in einem Überwachungsstaat leben? Schon dieser Verlust an Lebensqualität ist Teil der Kosten, aber glauben Sie, dass die "Reichen" sich das gefallen lassen? Vermutlich wären die "Reichen" die ersten, die das Land verlassen. Und die weniger Reichen machen etwas stilleres, das in der Wirkung aber mindestens ebenso dramatisch ist: Sie arbeiten weniger, weil hohe Steuern den Anreiz zur Arbeit verringern. Und das dürften die eigentlichen Kosten der übertriebenen Überwachung sein. Es ist kein Wunder, dass einige Bundesländer weniger streng prüfen als andere. Diese Länder haben erkannt, dass es Standortpolitik sein kann, durch weniger rigide Prüfungen arbeitsame Menschen anzuziehen, die dann in der Summe trotz geduldeter kleiner Schummeleien doch mehr Steuern zahlen als die "faulen Ehrlichen". 

Lohnt sich Steuerhinterziehung? 

Vielleicht fragen Sie sich nun, ob sich Steuerhinterziehung vielleicht doch lohnt, wo doch die Bundeskanzlerin aus Eigennutz nur mit recht geringer Wahrscheinlichkeit prüfen lassen sollte. Auch darauf hat unsere kleines Modell eine sehr präzise Antwort: Es lohnt sich nicht. Das Optimum für die Prüferin schreibt nämlich vor, genau so viel zu prüfen, dass es sich für den Steuerzahler gerade eben nicht lohnt zu hinterziehen, weil er bei Hinterziehung im Erwartungswert ebensoviel bekommt wie bei Steuerehrlichkeit: in beiden Fällen null. Daher können Sie sich jetzt einfach zurücklehnen und es so machen, wie Sie es schon immer getan haben: alles brav deklarieren. Die Prüfwahrscheinlichkeit ist in Verbindung mit der Strafe gerade genau so hoch, dass Sie sich durch Hinterziehen nicht verbessern können. 

Aber: Einige unter Ihnen werden mir das nicht glauben. [2] Und wenn es mir alle glauben würden, würde es auch nicht stimmen.[1] Daher wird es immer einige unter Ihnen geben, die eben doch versuchen, Steuern zu hinterziehen. Genau deshalb muss unsere Fahnderin doch immer wieder prüfen. Nur nicht zu oft. 

Prüfungswahn und zu wenig Kontrolle 

Der hier besprochene Zusammenhang taucht übrigens auch bei anderen Gelegenheiten auf, nicht nur bei der Steuer. Haben Sie sich zum Beispiel einmal gefragt, weshalb es vergleichsweise wenig Radarfallen gibt? Viele halten mich für zynisch, aber es gibt einen einfachen Grund dafür: Weil es die Einnahmen durch Strafen maximiert. Gäbe es zu viele Kontrollen, würde niemand mehr zu schnell fahren und die Einnahmen wären für den Staat dahin. Genau das ist übrigens wieder mal der DDR passiert: Auf der Transitautobahn nach  Westberlin gab es für die marode DDR-Wirtschaft eine tolle Einnahmequelle durch Strafzettel für Wessi-"Raser", denn Westmark waren für die DDR-Diktatoren sehr viel wert. Leider war das DDR-Regime so kontrollbesessen, dass sie überkontrolliert haben. Hinter jedem Baum stand eine Radarfalle in der Hoffnung auf Westmark, mit dem Erfolg, dass niemand zu schnell fuhr. Daher waren die Einnahmen viel geringer als sie hätten sein können. Kommt davon, wenn man es mit der Überwachung übertreibt. 

In die gegenteilige Falle ist Mercedes getappt. Autos von Mercedes hatten einmal eine so hohe Qualität, dass es nur eine verschwindend kleine Fehlerquote gab, die von der Endkontrolle an Ende der Fertigung aufgedeckt wurde. Was lag näher als einfach die Endkontrollen einzustellen, die ja sowieso fast nie etwas gefunden haben? Leider war das ein verhängnisvoller Fehler. Denn ein Blick auf unser Kontroll-Spiel zeigt, was passiert, wenn es keine Kontrollen mehr gibt: Die Fertiger beginnen zu schlampen. Mercedes hat (zumindest eine Zeit lang) übersehen, dass die Fehlerquote nur deshalb so gering war, weil es die Kontrollen gab. Der Sinn der Endkontrolle war also keineswegs, Fehler zu finden, sondern Fehler zu verhindern. 

Genau so ist es bei der Steuerfahndung: Nicht der Erlös aus Steuernachzahlungen ist der eigentliche Gewinn der Steuerfahndung, sondern der Gewinn ist die gewonnene Steuerehrlichkeit durch die Möglichkeit der Entdeckung bei Hinterziehung. Aber alle Hinterziehung vollständig verhindern zu wollen, wäre für die Staatskasse ein schlechtes Geschäft. Und für die Menschen allemal. 

Das Dilemma der Steuereintreiber

Ich habe oben argumentiert, dass Bundesländer mit sanfteren Steuereintreibern eventuell mehr Steuern bekommen, weil sich dort die Firmen lieber ansiedeln. Ein Leser meiner Seite weist auf einen interessanten Sachverhalt hin, der hier mit hineinspielt. Es gibt nämlich ein übles Dilemma der Bundesländer:  

<Zitat:> Es gibt leider noch einen zweiten Grund für dieses Länderverhalten: die unsägliche Ausgestaltung des Länderfinanzausgleichs. Die "Grenzbelastung" eines Nettozahlers im Länderfinanzausgleich ist extrem hoch. (Meines Wissens in der Regel über 90%. Umgekehrt ist auch der "Grenzertrag" eines Netto-Empfängers sehr hoch. Sinkende Steuer-Einnahmen werden diesen Bundesländern ebenfalls zu über 90% kompensiert).
Von einem zusätzlich eingenommenen Steuer-Euro bleibt einem Bundesland daher fast nichts, ganz egal ob es Nettozahler oder Nettoempfänger ist.

Zusätzlich kommt erschwerend hinzu, dass die Finanzämter zwar von den Bundesländern betrieben werden, jedoch auch für die Einziehung der Bundessteuern zuständig sind. Es besteht hier also ein schwerwiegendes Moral-Hazard-Problem:

Das Bundesland profitiert nur im niedrigen einstelligen Prozentbereich von den durch seine Finanzbeamten eingetriebenen Steuern.
Den Kontrollaufwand bezahlen muss es aber voll (und zwar sowohl den direkten Kontrollaufwand als auch die von Ihnen zu recht angesprochenen "indirekten" Kosten durch Anpassungs-Reaktionen seiner Steuersubjekte). <Zitat Ende> 

Das sind außerordentlich interessante Argumente. Ich habe die zugrundegelegten Zahlen nicht nachgeprüft, aber auch bei abgeschwächten Zahlenwerten würden die Argumente noch in vollem Umfang gelten. Das zeigt, dass es sich für Politiker lohnt, einmal vorher die Konsequenzen der Mechanismen zu durchdenken, die sie in Gesetze fassen. 

Lust auf weitere spieltheoretische Analysen? Dann werfen Sie doch einmal einen Blick in das von mir übersetzte Buch Coopetition - Spieltheorie im Geschäftsleben. 

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[1] Wieso eigentlich nicht? Die Begründung geht ein wenig um die Ecke: Wenn alle Steuerzahler ehrlich wären, dann brauchte man sie nicht zu prüfen. Wenn aber nicht geprüft wird, dann lohnt es sich, Steuern zu hinterziehen. Der Zustand, dass alle ehrlich sind, zerstört sich daher von selbst - er ist eben kein Gleichgewicht. Der erste Denkschritt der ebigen Argumentation taucht übrigens auch in dem Fallbeispiel der Endkontrollen von Mercedes auf. 

[2] Ich halte die Quintessenz des hier verlinkten Artikels übrigens für vollkommen verkehrt: Demokratische Gesetze sind dafür da, eine gesellschaftliche Übereinstimmung zu institutionalisieren. Wenn Gesetze einen so wesentlichen Teil der Bevölkerung kriminalisieren wie in dem Artikel behauptet (sofern das denn zutrifft), dann stimmt etwas mit den Gesetzen nicht, nicht mit den Menschen. Mit immer mehr staatlicher Brutalität zu reagieren ist keine demokratische Verhaltensweise, sondern der schleichende Beginn einer Diktatur. Das gilt nicht nur hier, sondern auch in anderen Bereichen wie Jugendkriminalität oder Straßenverkehr. Gesetze sind dafür da, dass es den betroffenen Menschen besser geht, nicht schlechter. Wenn die Gesetze dieses Ziel nicht erreichen, dann muss man sie ändern.  

[3] In der Version dieser Seite vor dem 20.11.09 hatte ich vergessen, in der Matrix die Prüfkosten von dem Bonus abzuziehen, daher stand damals (fälschlicherweise) als Auszahlung bei Prüferfolg der Betrag B statt jetzt B-1. Die nachfolgenden Rechnungen basierten aber auf der korrekten Matrix, sodass sich an den Ergebnissen nichts ändert. Ich bedanke mich an dieser Stelle noch einmal ganz herzlich bei einem netten Mathematik-Lehrer und seinem Mathematik-Seminar, dass sie mich darauf aufmerksam gemacht haben.